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Dos matemáticos han resuelto un rompecabezas de números primos que parecía imposible descifrar
Los números primos tienen mucho encanto. Lo tienen, al menos, para muchos matemáticos a los que les resultan indiscutiblemente atractivos. Al fin y al cabo son muy especiales. Un brevísimo repaso por si hay alguien un poco despistado: los números primos son enteros mayores que 1 que únicamente son divisibles por 1 y por sí mismos. Eso es todo. El 2, el 3, el 5, el 7 o el 11 son números primos, entre muchos otros. Dicho así no parecen gran cosa, pero, en realidad, son muy importantes. Y lo son debido a que tienen propiedades relativamente exóticas.
La más evidente de todas ellas es que son infinitos, pero, además, algunos son gemelos porque están separados por 2 (como el 3 y el 5 o el 11 y el 13); su distribución parece irregular, aunque no lo es; o pueden adoptar formas especiales, como, por ejemplo, los números primos de Mersenne o los de Fermat (no vamos a indagar en ellos para no complicar innecesariamente este artículo). Sea como sea estos números son los auténticos protagonistas de una historia que nos ha cautivado. Esperamos que a vosotros, nuestros lectores, os resulte tan interesante como a nosotros.
Los investigadores ya conocen un poco mejor dónde “viven” los números primos
Los matemáticos coquetean con estos números desde hace siglos. Incluso los más grandes se han dejado seducir por ellos. Unos 300 años a. C. el matemático griego Euclides demostró que existen infinitos números primos, y desde entonces una infinidad de matemáticos se ha propuesto averiguar con la máxima precisión posible cómo se distribuyen a lo largo de la recta numérica. Han pasado más de dos milenios, y sí, ahora conocemos mejor que nunca cómo encontrarlos y cuáles son sus propiedades, pero esto no significa que ya esté todo el trabajo hecho.
Para los matemáticos la búsqueda de una regla que permita describir cómo se distribuyen se ha transformado en un auténtico rompecabezas. Un rompecabezas con milenios de antigüedad. Afortunadamente, Ben Green, de la Universidad de Oxford (Inglaterra), y Mehtaab Sawhney, de la Universidad de Columbia (EEUU), han conseguido demostrar que hay un tipo muy desafiante de números primos que satisface una restricción rigurosa. Este tipo de demostraciones no son en absoluto frecuentes, y esta en particular se ha consolidado como una aportación muy importante que permite a los matemáticos conocer mejor los números primos.
Los primos aproximados no son números primos en el sentido tradicional debido a que basta que no sean divisibles por los primos más pequeños para poder trabajar con ellos
Green y Sawhney han publicado su demostración en el repositorio de acceso abierto arXiv, y en cierto modo es una obra de arte. Una obra de arte en el ámbito de las matemáticas. Su punto de partida cuando decidieron embarcarse en la aventura que ha concluido con la publicación de su artículo científico fue la conjetura de Friedlander e Iwaniec. Estos dos matemáticos de la Universidad Rutgers, en Nueva Jersey (EEUU), se preguntaron en 2018 si existen infinitos números primos que pueden describirse mediante la ecuación p² + 4q², donde tanto p como q también deben ser primos.
A Green y Sawhney les pareció acertadamente que contar de forma directa todos los números primos que satisfacen esa condición era inabarcable, pero se dieron cuenta de que si flexibilizaban un poco ese requisito podrían resolver este problema. Y lo hicieron asumiendo que los números al cuadrado únicamente tenían que ser aproximadamente primos. Los primos aproximados son más fáciles de localizar que los primos normales. Y es que no son números primos en el sentido tradicional debido a que basta que no sean divisibles por los primos más pequeños para poder trabajar con ellos. Incluso aunque, en realidad, no sean primos.
Los matemáticos suelen trabajar con este tipo de simplificaciones para poder abordar desafíos que parecen irresolubles, y no hay ningún problema siempre y cuando expliquen bien qué es lo que han hecho. “Los primos aproximados son un conjunto que entendemos mucho, mucho mejor”, asegura Sawhney. Y tanto. Tomándolos como punto de partida Ben Green y Mehtaab Sawhney han conseguido resolver la conjetura de Friedlander e Iwaniec.
En este artículo nos interesa conocer la historia de estos dos matemáticos y repasar por qué los números primos tienen tanto encanto, y no tanto los pormenores de su demostración. Si no os intimidan las matemáticas os sugiero que echéis un vistazo al artículo de Green y Sawhney, aunque, afortunadamente, no es necesario entenderlo para intuir qué hace tan especiales a los números primos.
Imagen | Pixabay
Más información | arXiv | Quanta Magazine
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así es el curioso fenómeno que hace desaparecer las sombras dos veces al año en algunos lugares del mundo
No es ningún secreto que nuestra sombra nos acompaña a todas partes donde vayamos, siempre que haya luz. ¿Pero si te dijéramos que hay momentos en los que desaparece casi por completo? Dos veces al año, en algunos lugares del mundo, ocurre un fenómeno conocido como “Zero Shadow Day” o “Dia de la Sombra Cero”.
¿Y cómo esto es posible? Detrás de esto hay una explicación muy sencilla. En estos días, el Sol está justo encima de nuestras cabezas, en lo que se conoce como cenit. Los rayos del astro rey caen de una forma en la que los objetos verticales como mástiles de banderas, bicicletas, antenas, monolitos, etc., dejar de proyectar sombra.
Días de sombra cero, un fenómeno sorprendente
Es como si la sombra se desvaneciera sobre la superficie terrestre. Un espectáculo muy interesante de ver en persona y también fotografiar, claro. El único inconveniente es que los días sin sombra suceden en todas partes del mundo, sino en regiones específicas. En concreto, entre los trópicos de Cáncer y Capricornio.
La clave de todo esto está en la inclinación de la Tierra. Nuestro planeta gira alrededor del Sol con una inclinación de unos 23,5 grados. Esto, que es lo que le debemos las estaciones, también hace que el punto donde el Sol pega de lleno se vaya moviendo a lo largo del año. A ese punto lo llamamos “punto subsolar”.
Como explica el Museo Bishop de Ciencias y Naturaleza, el punto subsolar va desplazándose desde el Trópico de Cáncer, allá por el 21 de junio, hasta el Trópico de Capricornio, sobre el 21 de diciembre, y luego hace el camino de vuelta. Por este motivo, el fenómeno donde las sombras se esfuman es tan limitado.
Por ejemplo, en la India, ciudades como Chennai y Bangalore tienen su “Día de la Sombra Cero” particular. También ocurre en Ciudad de México o San Juan de Puerto Rico. Incluso en Hawái, a este fenómeno lo llaman “mediodía de Lāhainā” y lo experimentan un par de veces al año, con fechas que varían según la isla.
Ahora bien, aquellos que vivimos más al norte del Trópico de Cáncer o más al sur del Trópico de Capricornio no tendremos la posibilidad de vivir este fenómeno. Aunque siempre existirá la posibilidad de viajar a una zona intertropical para darle a nuestra sombra un descanso, aunque demasiado breve.
Imágenes | Tmamatha | TNSC SHANMU VPM | Daniel Ramirez
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de tradición medieval a herramienta de propaganda nazi y fenómeno global
Cuando pensamos en “mercadillo navideño”, la imagen que viene a la cabeza es la de luces, dulces, objetos varios, juguetes de madera, puestos de pan, queso y gofres, todo mezclado con un aroma reconfortante. Esos mercadillos son un reclamo turístico y un incentivo para salir a la calle, incluso en la época más fría, y todo comenzó hace unos 700 años.
En ese tiempo, los mercadillos navideños han surcado un camino con subidas, bajadas, una resurrección a manos de los nazis y la eclosión actual a nivel mundial.
Tradición. Uno de los primeros es el Dezembermarkt de Viena, en Austria, que data de finales del siglo XIII y no era nada “navideño”, sino práctico. Poco a poco, estos mercadillos fueron abriendo la mano, con productos más enfocados a la festividad, pero sin perder el norte: había que vender productos contundentes, como carnes. A finales del siglo XIV, en Alemania, ya se podían ver los protomercados navideños que desembocarían en el fenómeno actual.
Guerra. Algunos de los más famosos son los de Dresde y Núremberg, de los siglos XV y XVI, respectivamente, y en ellos ya había un ambiente muy diferente al original vienés. No se sabe mucho sobre el ambiente de esos mercados, pero sí que eran un espacio para los ricos, con el populacho mirando desde la barrera. En el siglo XIX, estos mercados eclosionaron. El de Berlín, por ejemplo, pasó de 303 puestos en 1805 a unos 600 en apenas 35 años.
Los ricos, viendo que cada vez más gente de todas las clases sociales acudía a estos mercados, se fueron alejando de ellos y hubo una auténtica guerra civil entre los comerciantes de los grandes almacenes que aparecieron a finales del XIX en las grandes ciudades y los mercadillos.
Nazis de mercadillo. Con la llegada del Partido Nazi, los mercadillos que habían pasado a un segundo plano en Alemania, regresaron por todo lo alto. Cuando Hitler llegó al poder, convirtió la Navidad en una fiesta, y utilizó estos mercadillos con fines propagandísticos, como una celebración de la historia alemana. Los alcaldes nazis reabrieron los mercadillos y se empezaron a decorar los puestos con luces o juguetes.
Con la guerra, evidentemente, pasaron a un lugar muy secundario, pero tras la misma, y con el auge de las compras navideñas, los mercadillos volvieron a ser protagonistas. Ya no tenían aquel propósito primigenio: se habían convertido en una atracción turística. Y, claro, se intentó borrar el papel de los nazis en el auge de los mercadillos, por aquello de que no era la imagen más adecuada.
Negocio. En los 90, los mercados navideños alemanes eran la envidia de todo el mundo, tanto que el resto de países importó la fórmula. Estados Unidos lo hizo, Reino Unido por descontado y hasta Japón. Como no puede ser de otra forma, España no se quedó atrás. A las ya tradicionales cabalgatas (con tiburones de los negocios que alquilan balcones para seguirlas por 1.000 euros), España ha ido sumando poco a poco una buena oferta de mercadillos medievales.
Ciudades como Madrid, Zaragoza, Sevilla, Valencia, Santiago de Compostela, Barcelona, Málaga, Bilbao o Alcalá de Henares tienen su mercadillo. No hay que irse a una gran ciudad, en localidades más pequeñas también vemos decenas de casetas en las zonas céntricas. En todas se encuentran los mismos productos, en muchas hay pistas de patinaje y algunas ofrecen artesanía y gastronomía de la zona. Pero el resumen es que es otra ocasión más para fomentar el turismo de interior.
Un “no tienes que irte a Amberes o Colonia para ver un mercadillo navideño. Lo tienes en casa”.
Y tradición. Eso sí, aunque los mercados navideños comenzaran en la zona alemana, hay otros mercados que fueron mutando con el tiempo para convertirse en una especie de mercadillo navideño. Un ejemplo lo tenemos en Barcelona, que desde 1786 celebra la fira de Santa Llúcia. Comenzó siendo una festividad del 13 de diciembre en la que los artesanos vendían figuras de barro, imágenes de santos, pastores, animales y una serie de objetos relacionados con el mundo del belén. También había otra serie de comerciantes.
La feria fue creciendo y se sigue celebrando, pero mantiene ese espíritu alrededor del belén, los pesebres y las actividades navideñas regionales, más alejado del comercio más general que podemos ver en otros mercados navideños.
Guerra de luces. Pero todo esto de los mercadillos tiene una razón de ser: hay que arañar turistas como sea. Con el frío dan menos ganas de salir a la calle, pero si vas a la plaza, ves las luces mientras te sirven un vino caliente, unas castañitas y te comes unos churros, ya estás consumiendo y saliendo de casa. Y ahí la guerra de las luces cada vez está teniendo más importancia.
No en vano hay ciudades -Vigo- que empiezan a hablar de sus luces en junio. Muchas ciudades españolas, grandes o pequeñas, han convertido el encendido de luces navideñas en un espectáculo con masas de gente en las calles, esperando el momento en el que la cuenta atrás que se muestra en una pantalla gigante llega a fin y se encienden las luces. Antes, de pronto un día ibas paseando por la calle y resulta que estaban encendidas. Ahora hay preámbulos.
Competencia por la mejor Navidad. Esa “guerra de las luces” lleva años con nosotros, pero es lógico: es una manera, como decíamos, de activar el turismo y mover dinero en la localidad. El objetivo es el de celebrar la mejor navidad y Bruno García, alcalde de Cádiz que tomó el mando hace unos meses, ya comentó que este tipo de actos no son sólo un tema estético, sino también “de empleo, de ilusión, movimiento comercial y de familias en la calle”.
Y lo mismo está pasando ya con los mercadillos navideños. Tenemos listas europeas en las que se ordenan los mejores mercadillos entre los que, este año, se encuentra el de Marbella. También multitud de listas en las que ya no se recomiendan mercadillos europeos exclusivamente, sino nacionales.
Asfixia. Si has estado en una ciudad grande -Madrid, por ejemplo- durante la época navideña y has paseado por Callao o Sol, te habrás sentido como una sardina en lata. Todo el mundo va a algún sitio, pero el atasco es monumental porque hay muchísimos locales y turistas que se paran a ver las luces o los escaparates decorados. Hay mercadillos navideños en los que ya se siente, precisamente, eso.
Aquí va una experiencia personal de hace unos días. Estuve en Zaragoza y la noche del viernes 6 de diciembre, pasear por la Plaza del Pilar era asfixiante. Estaba el mercadillo navideño con sus típicos puestos de piedras milagrosas, bisutería y comida (riquísimos churros, la verdad) a reventar, pero también todos los locales de comida de los alrededores que, sin la presencia del mercadillo, puede que no hubieran estado así de llenos.
Lógico. Al final, los mercadillos navideños han pasado de ser algo que cubría una necesidad práctica a convertirse en un fenómeno cultural y turístico que refleja cómo hemos reinventado la Navidad.
Desde la competencia entre ciudades por tener la iluminación más espectacular hasta la masificación en las plazas, estos mercadillos son, más que nunca, un reflejo de nuestro tiempo: tradición, comercio y consumo. Todo envuelto con el calorcito del espíritu navideño.
Imágenes | Xataka, Bundesarchiv, Bild, Roland Berger, LH DD/Dittrich
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En plena fiebre de la reinvención del turrón, me ha dado por hacer turrón casero. Y pienso repetir
Me encanta el turrón. No estoy solo en esto ni en la redacción ni en el país, pero lo que me gusta es el turrón clásico. Que se quiten las moderneces de sabores exóticos, los turrones de jamón, de piruleta o de patatas fritas. Lo que quiero es turrón de almendra o, sobre todo, el de chocolate con frutos secos o arroz inflado.
El problema es que cada año me pasa lo mismo: compro varios y, como mucho, como una tableta, por lo que el resto queda para el año que viene… y ya no está igual. Este año he decidido que iba a hacer mi propio turrón por dos motivos: seleccionar los ingredientes y que, si tengo que comerme un turrón, que sea el mío.
He encontrado (y preparado) la receta perfecta para el turrón tipo Suchard. Te la voy a contar, pero tienes que tener algo claro: este turrón está riquísimo, pero cuesta un riñón.
Ingredientes simples. Estaba el otro día navegando en busca de la receta navideña perfecta cuando me encontré un vídeo de Fuego Loco. Es un canal que tiene recetas fáciles muy interesantes y una es la del turrón que me gusta: chocolate con arroz inflado. “Perfecto, me dije”, por lo que fui a comprar los ingredientes:
- 200 gramos de chocolate negro.
- 200 gramos de chocolate con leche.
- 100 gramos de manteca, mantequilla o manteca de cacao.
- 100 gramos de arroz inflado.
Proceso más simple aún. En el vídeo, Santi lo explica de forma muy sencilla, y la elaboración no podría ser más simple:
- Viertes agua en una olla y, sobre ésta, colocas un cuenco. En él, ponemos tanto los 400 gramos de chocolate como la mantequilla (en mi caso, margarina). Encendemos el fuego y empezamos a remover hasta que se derrita la mezcla.
- En cuanto se haya derretido, apartamos el cuenco de la fuente de calor y añadimos el arroz inflado. Fuego Loco utiliza arroz inflado de chocolate, pero para intentar eliminar ese extra de azúcar, compré arroz inflado a secas, sin añadidos. Remueves un poco para mezclarlo todo y casi estaría.
- Pillamos un molde (el que sea, aquí sólo influye en la forma), forramos el molde con papel film con el objetivo de que el chocolate no se pegue a las paredes y sea más fácil desmoldar y lo llevamos al frigo.
- En unas tres horas lo sacamos, desmoldamos y podemos comerlo o guardarlo.
No es turrón para ahorrar. Está buenísimo. Esto es así y no me lo puede negar nadie. Además, es facilísimo y teniendo en cuenta los atascos en grandes ciudades, es más rápido que hagas este turrón en casa que ir a comprar uno al supermercado. Ahora bien, madre mía lo que cuesta hacer estas cosas.
La ventaja es que puedo elegir los ingredientes, pero en esta ocasión tampoco quería liarme la manta a la cabeza y comprar materia prima extravagante con cacao de orígenes concretos ni nada de esto: chocolate con azúcar y listo. El problema es que estamos metidos de lleno en una espiral inflacionaria del cacao y eso se está notando en el mercado. Mis ingredientes eran:
- Tableta Valor de chocolate negro de 200 gramos – 3,35 euros.
- Dos tabletas Valor de chocolate con leche de 100 gramos cada una – 5,58 euros.
- Arroz inflado – 1,99 euros la bolsa de 125 gramos.
¿Mi turrón? 10,82 (y eso que tenía la margarina ya en casa y que el chocolate negro es eso que venden con un 52% de cacao). ¿El precio de una tableta de Suchard? Apenas 3,99 euros. En mi defensa diré que la tableta de Suchard clásico es de 260 gramos y con la receta de Fuego Loco sale medio kilo de turrón, pero está claro que por precio no compensa. No es el chocolate de Dubai, pero casi.
La cata. Sobre el turrón casero, tengo que decir un par de cosas. La primera es que está espectacular. No es que sea un gran cocinero, es que el chocolate está bueno y el arroz inflado le da un punto. La segunda es que quizá es demasiada cantidad. Puedes reducir proporciones (sobre todo de arroz inflado) para que quede algo más ligero.
Es muy parecido al de Suchard o a cualquiera de este tipo, pero también algo más mazacote. No es empalagoso (o no me lo parece), pero el turrón comercial me parece, si bien más dulce, también más ligero a la hora de masticarlo. Y el crujiente de esos turrones comerciales también es algo más acentuado que el del mío. Ahí puede ser por mi arroz, pero no afecta al sabor en absoluto.
Que no se pase el arroz. Aunque el mío estaba rico, en el proceso me di cuenta de algo: el arroz inflado que compré no estaba tan crujiente como opciones más comerciales (las de cereales azucarados de arroz inflado, vaya). No me molesta porque el sabor me gusta, pero si quieres esa mordida crujiente, mejor con arroz inflado crujiente o azucarado.
Prioridades. Lo bueno de esto es que puedes ponerte lo exquisito que quieras. Mis chocolates, como era para hacer la prueba, no son nada del otro mundo y no son ni los más caros ni los más baratos. El chocolate con leche tiene más ingredientes de lo que me gustaría, pero así estás controlando perfectamente lo que te metes al cuerpo y evitas ingredientes que no desees.
Seguramente incumpliré eso de comer sólo una tableta porque, viendo el resultado con chocolates buenos, pero normalitos, en una semana me gustaría repetir el proceso con chocolates más selectos. Ahora bien, ahí sé que mi cartera va a llorar, pero Navidad es una vez al año.
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